2. FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Definición de linea recta

La línea recta es uno de los conceptos fundamentales en la comprensión de la asignatura de la Geometría Analítica, algunos de los más utilizados son:

1. Una línea recta es el lugar geométrico en un plano formado por una sucesión de puntos que tienen la misma dirección. Dados dos puntos diferentes, sólo una recta pasa por esos dos puntos.

2. Es el lugar geométrico de los puntos de un plano, de los cuales al tomar dos cuales quiera, el valor de la pendiente m, es siempre constante.

3. Es el lugar geométrico formado por un polinomio de primer grado de la forma y= a₀ + a₁x.

4. Es el lugar geométrico obtenido al unir dos puntos, tal que la distancia recorrida, es la más corta posible.

Línea recta

Como veremos la ecuación de una linea recta se puede presentar de varias formas, las cuales estudiaremos en este bloque.

Pregunta de Elección Múltiple

Recta

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Para otros usos de este término, véase Recta (desambiguación).

Representación de un segmento de recta.

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene infinitos puntos; se puede considerar que está compuesta de infinitos segmentos. Dicha recta también se puede describir como un sucesión continua e indefinida de puntos extendidos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Un ejemplo de las dificultades de la definición de la recta a partir de puntos es la llamada paradoja de Zenón de la dicotomía que ilustraba la desaparición de la recta al dividirla en puntos. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Índice

1 Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta
2 Características de la recta
- 2.1 Semirrecta
- 2.2 Semirrecta opuesta
3 Ecuación de la recta en el plano
4 Ecuación de la recta en el espacio
- 4.1 Recta determinada mediante un sistema de ecuaciones
- 4.2 Recta determinada mediante vectores
  - 4.2.1 Posiciones relativas entre rectas
5 Véase también
6 Notas
7 Referencias
8 Enlaces externos

Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta[editar]

Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,^[1] establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:

Una línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).
Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).
Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4).

Características de la recta[editar]

La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.
En geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.
La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Semirrecta[editar]

Haz de rayos.

Se le llama semirrecta^{[nota 1]} a cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta, denominado origen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola dirección.

Semirrecta opuesta[editar]

La semirrecta opuesta de una semirrecta es la otra semirrecta salida de la recta que define la primera.^[5] ^[6]

Cada semirrecta solo tiene una semirrecta opuesta.
Una semirrecta y su semirrecta opuesta tienen el mismo origen.

Ecuación de la recta en el plano[editar]

Tres líneas rectas — Las líneas roja y azul poseen la misma pendiente (m) que en este ejemplo es ½, mientras que las líneas roja y verde interceptan al eje y en el mismo punto, por lo que poseen idéntico valor de ordenada al origen (b) que en este ejemplo es el punto x=0, y=1.

En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación general definida en dicho plano ya sea mediante coordenadas usando puntos y vectores, o bien funciones que especifican dichas coordenadas.

Pendiente y ordenada al origen[editar]

Dada una recta mediante un punto, $P = (x_0, y_0) \,$ , y una pendiente $m\,$ :

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

y - y_0 = m (x - x_0)\!

donde $m$ es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.

Ejemplo[editar]

La ecuación de la recta que pasa por el punto $A=(2, -4)$ y que tiene una pendiente de $m=-\frac{1}{3}$ :

x + 3y + 10 = 0\!

Demostración
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente: $y - y_1 = m (x - x_1)\!$ $y - ( - 4) = - 1/3 (x - 2)\!$ $3 (y + 4) = - 1(x - 2)\!$ $3y + 12 = - x + 2\!$ $x + 3y + 12 = 2\!$ $x + 3y + 10 = 0\!$

Forma simplificada de la ecuación de la recta[editar]

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, $y - y_1 = m (x - x_1)$ :

y - b = m (x - 0)\!

$y - b = m x \!$

y = m x + b \!

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos $b$ .

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (ecuación simétrica)[editar]

Recta que corta el eje ordenado en $b$ y la abscisa en $a$ .

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \!

Demostración
Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos $a$ y $b$ (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes: $(0, b)\!$ y $(a, 0)\!$ Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente: $m = \left( \frac{0 - b}{a - 0} \right) = \frac{-b}{a}$ Después se sustituye en la ecuación $y - y_1 = m (x - x_1)$ , usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0): $ay = - bx + ab\!$ $bx + ay = ab\!$ y dividinedo toda la ecuación entre el término independiente $ab$ : $\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab}\!$ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \!$ Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

Ecuación general de la recta[editar]

Es la expresión Ax + By + C = 0,^[10] -A/B representa la pendiente y -C/B señala la ordenada en el origen cuando B sea diferente a cero. Datos suficientes para representar cualquier recta en el plano cartesiano XOY.

Ecuación normal de la recta (primera forma)[editar]

La forma normal de la recta (Ecuación de Hesse):

x \ cos\omega + y \ sen\omega - d = 0 \!

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo entre la perpendicular a la recta y la parte positiva del eje de ordenadas.^[11]

Si en lugar del ángulo de la normal ω se emplea el ángulo de la recta α, entre la recta y el eje de las ordenadas:

x \ sen\alpha - y \ cos\alpha + d = 0 \!

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo alfa α es el ángulo entre la recta y la parte positiva del eje de ordenadas, cuya tangente expresa el valor de la pendiente de la recta.

Demostración
Para obtener dicha ecuación a partir de una ecuación de la forma $Ax + By + C = 0 \!$ , primero se ha de calcular: $\lambda = \sqrt{A^2 + B^2}$ al dividir los parámetros de la ecuación por $\lambda$ se obtiene que $cos\omega=\frac{A}{\lambda}$ y $sen\omega=\frac{B}{\lambda}$ . Finalmente $-d=\frac{C}{\lambda}$ sin excepción.^[12]

Ecuación normal de la recta (segunda forma)[editar]

\frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2 + B^2}}=0

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

Rectas que pasan por un punto[editar]

Rectas que pasan por el punto: (2,4).

Para determinar las rectas del plano que pasan por el punto $P=(x_0, y_0) \,$ se usa la ecuación

y = m (x- x_0) + y_0 \,

donde m toma cualquier valor real.

Demostración
La ecuación de la recta ha de ser: $y = m x + b \,$ Y ha de pasar por el punto $(x_0, y_0) \,$ , luego tendrá que cumplirse: $y_0 = m x_0 + b \,$ Despejando b, tenemos esta ecuación: $b= y_0 - m x_0 \,$ Sustituyendo b en la ecuación general de la recta: $y = m x + (y_0 - m x_0) \,$ Ordenando términos: $y = m (x- x_0) + y_0 \,$ Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto $(x_0, y_0)$ , el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz a excepción de la recta vertical por dicho punto.

Recta que pasa por dos puntos[editar]

Si pasa por dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ , la ecuación de la recta puede expresarse como:

y = \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \; (x - x_1) + y_1

Demostración
Han de cumplir la fórmula general $y = m x + b \,$ , resultando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas m y b: $y_{1} = m x_{1} + b \,$ $y_{2} = m x_{2} + b \,$ eliminamos la incógnita b, despejando en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda: $b = y_1 - m x_1 \,$ $y_2 = m x_2 + (y_1 - m x_1) \,$ agrupando términos: $y_2 - y_1 = m (x_2 - x_1) \,$ despejando m: $m= \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \,$ este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ . Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos: $b = y_1 - m x_1 \,$ y sustituyendo m, por su valor ya calculado; $b = y_1 - \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \; x_1 \,$ Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, entonces la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es: $y = \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \; x + y_1 - \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \; x_1$

Rectas notables[editar]

Rectas perpendiculares.

La ecuación de una recta vertical responde a la ecuación general $x = x_v$ (constante).

La ecuación de una recta horizontal responde a la ecuación general $y = y_h$ (constante).

Una recta trigonoidal que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición b = 0, siendo su ecuación: $y = (m)(x)\;$ .

Recta secante

Recta tangente

Dos rectas cualesquiera:

y = \left( m_1 \right)\left( x \right)+ b_1 \!

y = \left( m_2 \right)\left( x \right)+ b_2 \!

serán paralelas si y solo si

m_1 = m_2\;

. Además, serán coincidentes cuando:

b_1 = b_2\;

serán perpendiculares si y solo si

m_1 = -1/ m_2\;

, es decir: $(m_1)(m_2) = -1 \;$

Rectas en el plano como espacio vectorial y afín[editar]

Mediante dos puntos del plano afín[editar]

Dado dos puntos en el plano, P y Q, sobre una recta, se puede describir cada punto de ésta es decir toda la recta mediante la ecuación:

P + \lambda \vec{ PQ }

donde

\lambda

puede tomar cualquier valor.

Ejemplo[editar]

Dados $P=(1,2)$ y $Q=(3,5)$ , entonces la recta son los puntos $(x,y)$ tales que $x=1+\lambda(3-1)$ y $y=2+\lambda(5-2)$ .

Mediante un punto y un vector[editar]

Dado un punto y un vector en el plano, P y $\vec{v}$ , queda totalmente definida una recta mediante la ecuación:

P + \lambda \vec{v}

donde

\lambda

puede tomar cualquier valor.

Ejemplo[editar]

Dados $P=(5,-2)$ y $\vec{v}= (3,1)$ (llamado vector director), entonces la recta son los puntos $(x,y)$ tales que $x=5+\lambda(3)$ y $y = -2 +\lambda(1)$ .

Rectas notables[editar]

La ecuación de una recta vertical poseería un vector director del tipo $\vec{v}=(0,1)$ .

La ecuación de una recta horizontal poseería un vector director del tipo $\vec{v}=(1,0)$ .

Una recta por el origen, es una recta que pasa por el origen de coordenadas con $P=(0, 0)\in r$ .

Dadas dos rectas cualesquiera

P + \lambda_1 \vec{v}

Q + \lambda_2 \vec{w}

serán paralelas si y solo si

\vec{v}=\alpha \vec{w}

serán perpendiculares si y solo si

\vec{v}

\vec{w}

son perpendiculares, es decir su producto escalar es cero.

Rectas como producto escalar[editar]

Toda recta ya sea de forma implícita, explicita o vectorial se puede expresar como producto escalar de vectores:

(x,y)= (b_x,b_y)+ \lambda (u_x,u_y) \Leftrightarrow \lambda = \frac{x-b_x}{u_x} \;\;\;\;y \;\;\;\; \lambda = \frac{y-b_y}{u_y} \Leftrightarrow

\frac{x-b_x}{u_x} = \frac{y-b_y}{u_y} \Leftrightarrow

\frac{x}{u_x}+\frac{-y}{u_y}=\frac{b_x}{u_x}+\frac{-b_y}{u_y} \Leftrightarrow

(x,y)\cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{u_x}\\ \frac{-1}{u_y} \end{pmatrix} = \frac{b_x}{u_x}+\frac{-b_y}{u_y}

es decir, renombrando las constantes:

(x,y)\cdot \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix} = c

Si $(x,y)\perp(a,b) \Rightarrow c=0$ por tanto el vector $(a,b)$ es perpendicular a la recta $ax+by=0$ y a sus vectores directores, y por tanto a todas sus paralelas.

Ecuación de la recta en el espacio[editar]

Recta determinada mediante un sistema de ecuaciones[editar]

Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables.

Recta en el espacio usando un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas:

\left \{ \begin{matrix} x & + y &+ z& = 4 \\ x & - y &+ 3z& = 7 \end{matrix} \right .

Esta ecuación equivale a la intersección de dos planos en el espacio.

Recta determinada mediante vectores[editar]

Recta en el espacio usando un punto, $p=(p_x,p_y,p_z)$ , y un vector, $u=(u_x,u_y,u_z)$ :

(x,y,z)=(p_x,p_y,p_z)+\lambda (u_x,u_y,u_z)

Al vector $u\,$ se le llama vector director.

Posiciones relativas entre rectas[editar]

Dos rectas serán paralelas si tiene vectores directores paralelos.
Dos rectas serán coincidentes si comparten al menos dos puntos diferentes.
Dos rectas se intersecan si no son paralelas y tienen un punto en común.
Dos rectas serán coplanarias^[5] si están contenidas en algún plano.
- Dos rectas son coplanarias si y solo si o bien son coincidentes o bien se intersecan o bien son paralelas.
Dos rectas se cruzan^{[nota 2]} si no son paralelas ni tienen puntos comunes.

Véase también[editar]

Notas[editar]

↑ También se usa rayo el cual es un posible anglicismo de ray^[2] en Hispanoamérica. En algunos textos es mencionado como rayo o semirrecta^[3] pero predomina el uso de semirrecta en abundante bibliografía^[4] ^[5] ^[6] ^[7] ^[8] ^[9] que no recogen otra alternativa.
↑ También se dice rectas alabeadas el cual es un posible anglicismo en Hispanoamérica^[3] pero predomina el uso de cruce de rectas en abundante bibliografía^[13] ^[5] hay quien recoge la alternativa no deseada de rectas oblicuas.^[14]

Referencias[editar]

↑ www.euclides.org: Los Elementos [1]
↑ Weisstein, Eric W. «Ray». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
↑ ^a ^b «Pequeña enciclopedia de matemáticas». una traducción del aleman (Pagoulatos). 1981.
↑ «semirrecta», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/srv/search?key=semirrecta .
↑ ^a ^b ^c ^d Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0.
↑ ^a ^b Diccionario de matematicas. Akal Editores. 1979.
↑ Docta guia educativa. Carroggio,s.a.
↑ Enciclopedia didáctica de matemáticas. Oceano.
↑ Léxico de matemáticas. Akal Editores.
↑ Geometría Analítica ( 1980) Charles Lehmann; Editorial Limusa, ISBN 968-18-176-3; pg. 65
↑ R. Spiegel, Murray; Liu, John; Abellanas, Lorenzo (2000). «Cap 8 Fórmulas de geometría analítica plana». En McGraw-Hill Inc. Fórmulas y tablas de matemática aplicada (2 edición). Madrid: Concepción Fernández. p. 20. ISBN 84-481-2554-1.
↑ Wooton, William. Geometría Analítica Moderna. México 1979. P.p. 90
↑ «cruzar», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/srv/search?key=cruzar .
↑ Geometría(traducción). Thomson Editores Internacional.

Enlaces externos[editar]

Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre recta.Wikcionario
Weisstein, Eric W. «Line». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
La Recta (Español)

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Características de la recta[editar]

Semirrecta[editar]

Semirrecta opuesta[editar]

Ecuación de la recta en el plano[editar]

Pendiente y ordenada al origen[editar]

Ejemplo[editar]

Forma simplificada de la ecuación de la recta[editar]

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (ecuación simétrica)[editar]

Ecuación general de la recta[editar]

Ecuación normal de la recta (primera forma)[editar]

Ecuación normal de la recta (segunda forma)[editar]

Rectas que pasan por un punto[editar]

Recta que pasa por dos puntos[editar]

Rectas notables[editar]

Rectas en el plano como espacio vectorial y afín[editar]

Mediante dos puntos del plano afín[editar]

Ejemplo[editar]

Mediante un punto y un vector[editar]

Ejemplo[editar]

Rectas notables[editar]

Rectas como producto escalar[editar]

Ecuación de la recta en el espacio[editar]

Recta determinada mediante un sistema de ecuaciones[editar]

Recta determinada mediante vectores[editar]

Posiciones relativas entre rectas[editar]

Véase también[editar]

Notas[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]