INTRODUCCIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa por dy.
La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.
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3. Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1 mm su lado.
S = x 2 dS = 2x dx
d(S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m2
Sean a, b, e y k constantes (números reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.
En adelante, escribiremos u y v. Entendamos que esto no es más que un abuso de notación con el fin de simplificar la misma.
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de la función lineal
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de una raíz
Ejemplos de derivadas
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Derivada de una suma
Derivada de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de una constante partida por una función
Derivada de un cociente
Ejemplos
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Derivada de la función exponencial
Derivada de la función exponencial de base e
Ejemplos
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Como 
, también se puede expresar así:
Derivada con logaritmo neperiano
Ejemplos
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Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
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Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:
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Derivada de la función seno
Derivada de la función coseno
Derivada de la función tangente
Derivada de la función cotangente
Derivada de la función secante
Derivada de la función cosecante
Ejemplos
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Derivada de la función arcoseno
Derivada de la función arcocoseno
Derivada de la función arcotangente
Derivada de la función arcocotangente
Derivada de la función arcosecante
Derivada de la función arcocosecante
Ejemplos
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Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x).
Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'v y así sucesivamente.
Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:
Derivada enésima
En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f'n(x).
Calcula la derivada enésima de:
Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Derivar las funciones:
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Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:
