INTRODUCCION AL AL GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
Coordenadas en el espacio
Hasta este punto del texto ha interesado principalmente el sistema de coordenadas bidimensional. En buena parte de lo que resta del estudio del cálculo se emplea el sistema de coordenadas tridimensional. Antes de extender el concepto de vector a tres dimensiones, se debe poder identificar puntos en el sistema de coordenadas tridimensional. Se puede construir este sistema trazando en el origen un eje z perpendicular al eje x y al eje y. La figura muestra la porción positiva de cada eje de coordenadas. Tomados por pares, los ejes determinan tres planos coordenados: el plano xy, el plano xz y el plano yz. Estos tres planos coordenados dividen el espacio tridimensional en ocho octantes. El primer octante es en el que todas las coordenadas son positivas. En este sistema tridimensional, un punto P en el espacio está determinado por una terna ordenada (x, y, z) donde x, y y z son: distancia dirigida que va del plano yz a P distancia dirigida que va del plano xz a P distancia dirigida que va del plano xy a P en la figura se muestran varios puntos.
Muchas de las fórmulas establecidas para el sistema de coordenadas bidimensional pueden extenderse a tres dimensiones. Por ejemplo,para encontrar la distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dos veces el teorema pitagórico, como se muestra en la figura. Haciendo esto, se obtiene la fórmula de la distancia entre los puntos P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2).
Vectores en el espacio En el espacio los vectores se denotan mediante ternas ordenadas. El vector cero se denota por Usando los vectores unitarios y en la dirección del eje positivo z, la notación empleando los vectores unitarios canónicos o estándar para v es
como se muestra en la figura. Si v se representa por el segmento de recta dirigido de a como se muestra en la figura, las componentes de v se obtienen restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final, como sigue
